集合・位相入門 (松坂和夫 数学入門シリーズ 1)

詳細

• タイトル: 集合・位相入門 (松坂和夫 数学入門シリーズ 1) de 松坂 和夫
• ISBN: 4000298712
• ファイル名: 集合-位相入門-松坂和夫-数学入門シリーズ-1.pdf
• 発売日: 2018/11/7
• ページ数: 340ページ ページ
• 出版社: 松坂 和夫

古い本に時々あるドイツ文字と, それらに対応しているアルファベットの表があり, 他書を読むにも役に立つ. 全体にわたる詳細な説明の他にも, 他の本に書かれていないことは, いくつかある.空集合は任意の集合の部分集合であることを, 論理学の根幹にあるふたつの基礎と対偶の原理を認めるなら「証明」可能であると明記している. そして納得のいく証明がある. この部分は(1＋1/3)ページ分で済ませられている. しかし抜けは無い.「⊆A」は論理学の立場から観ると「自明」(理論上明白)なのだが, 高校数学からの接続を図って書かれた大学数学の本には, 杉浦「解析入門Ⅰ」の付録に本書より厳密かつ豊潤に書かれてあるくらいだろう.(選択公理が必然的に必要で通読には必須ではないが)有限生成な群の極大な部分群の存在証明と線型空間の基底の存在証明をしている. これらを同じ本で知ることができるのは珍しいだろう. 線型代数の本で基底の存在証明には, (理論上)自明な選択公理が使われているが, 本書では無限次元の場合まで含めているのだ.無限次元の線型空間に基底が存在することを保証するには, どうしても(自明でない)選択公理が必要になる. 選択公理を適用する具体例と有用性が, 両者により分かると思う. 他書では, 位相空間論において, 空でない位相空間の直積が空でないことなど, 位相空間の範囲で例示されている場合が多い.ただし, あくまで「存在定理」は構成に何も言えない. 任意有限個の線型結合ではなく任意有限個の線型結合の極限(ノルム収束)の意味なら, 関数解析における(可分な)ヒルベルト空間に, 基底は三角関数あるいは多項式により構成されている. これは数理物理学からの要請による. 広く知られていないけれど, 可分なバナッハ空間にも(ノルム収束の)或る意味の基底は存在する. ノルムとバナッハ空間については本書にも説明がある.Ｒ^nの点集合論による位相空間の前置き, 距離空間の前置き, それぞれが先々を見通しているだけではなく, 読者の理解の速さに配慮した形で語られている. 例には他書とは違い, 開基, 部分集合の特徴付け, 連続写像, 基本近傍系, などの事項もある. いきなり開集合系を与えることは最近では少なくなってきたようだが, 初版から50年を過ぎている今も読み継がれる常に好評な本書によると考えていいだろう. 距離空間の完備化などの証明を写されたことも多々ある.それとは話が外れるが, 他に見習われている本に「実解析入門」がある. 「解析入門Ⅰ」と同じく「四則演算可能な全順序集合で四則演算と順序が両立していて実数の連続性公理を仮定した集合」の元を実数と定義している. 前者は実数の連続性を「実数の完備性」と呼んでいる. 参考文献に本書を挙げて, 本書に「連続性」より「完備性」と呼べば位相の意味と混同しないだろう, とある.読者に練習問題として任せた, 行間・事項・証明, などは, どれも何故か解いていて楽しい. 省略された内容は自ずと実力が高まる程度であり, 節末の問題には, 本文の拡充も今までの理解を確かめられる問も多い. 見たら直ぐに見当や方針が浮かぶ時も, 簡単ではない時も度々あるが, 自力で解ける時もよくある. そして何故か問題と向き合うと不思議に面白く感じる.序文では高校生でも理解できるように説明したとある. 実際に私は高校生の時に読み始めたのだが, 難なく無理なく読み進められた. 順序対(順序付けられた組)の定義は感覚的で, 写像(対応)と同値関係の定義も感覚により述べてから「逆」として「定理」の形で(証明付きで)述べられているが, (かつての私を含めて)初学者には, そのほうが分かりやすいかもしれない.前半の写像まで読み, そこから位相空間へ進むと早く読めると感じた. 必要なら位相空間の最小限を済ませてから,解析学の主な舞台である距離空間へ進んで前の事項を参考にしながら読む方法も, 効率が良いかもしれない. 誤植は１箇所しかない.なお, 読みにくさについて私は気にならない程度だと思う.集合論の初歩と位相空間論は他には庄田集合・位相に親しむ内田集合と位相森田集合と位相空間がおすすめである. それぞれのレビューも参考になればうれしい.